数据包络分析

1978年由著名的运筹学家A.Charnes(查恩斯), W.W.Cooper(库伯), 及E.Rhodes(罗兹)首先提出了一个被称为数据包络分析（Data Envelopment analysis, 简称DEA模型）的方法，用于评价相同部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）.

他们的第一个模型被命名为C2R模型.从生产函数的角度看,这一模型是用来研究具有多个输入,特别是具有多个输出的“生产部门”同时为“规模有效”与“技术有效”的十分理想且卓有成效的方法.1985年查恩斯,库伯,格拉尼(B.Golany),赛福德(L.Seiford)和斯图茨(J.Stutz)给出另一个模型(称为C2GS2模型),这一模型用来研究生产部门间的“技术有效性”.

1987年查恩斯,库伯,魏权龄和黄志明又得到了称为锥比率的数据包络模型——C2WH模型。这一模型可用来处理具有过多的输入及输出的情况,而且锥的选取可以体现决策者的“偏好”.灵活地应用这一模型,可以将C2R模型中确定出的DEA有效决策单元进行分类或排队.

数据包络分析是运筹学的一个新的研究领域.查恩斯和库伯等人的第一个应用DEA的十分成功的案例,就是评价为弱智儿童开设公立学校项目的效果.在评估中,输出包括“自尊”等无形的指标;输入包括父母的照料和父母的文化程度等,无论哪种指标都有无法与市场价格相比较,也难以轻易定出适当的权重(权系数),这也是DEA的优点之一.

DEA的优点吸引众多的应用者,应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行,基地维修与保养,以及陆军征兵,城市,银行等方面.目前,这一方法应用的领域在不断地扩大.它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性(例如投资项目的评价);研究在决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何(例如建立新厂后,新厂相对于已有的一些工厂是否为有效).DEA是对其决策单元（同类型的企业或部门）的投入规模、技术有效性作出评价，即对各同类型的企业投入一定数量的资金、劳动力等资源后，其产出的效益（经济效益和社会效益）作一个相对有效性评价。

评价决策单元技术和规模综合效率的C2R模型

设有n个同类型的企业（也称决策单元），对于每个企业都有m种类型的“输入”（表示该单元对“资源”的消耗）以及p种类型的“输出”（表示该单元在消耗了“资源”之后的产出）。

这n个企业及其输入-输出关系如下：

每个决策单元的效率评价指数定义为： $$ \mathrm{h}_{\mathrm{j}}=\frac{\sum_{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{p}} \mathrm{u}_{\mathrm{r}} \mathrm{y}_{\mathrm{r} j}}{\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{m}} \mathbf{V}_{\mathrm{i}} \mathbf{X}_{\mathrm{ij}}} \quad \mathrm{j}=1,2, \ldots, \mathrm{n} $$

而第j0个决策单元的相对效率优化评价模型为：

$$ \max \mathrm{h}_{\mathrm{j} 0}=\frac{\sum_{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{p}} \mathrm{u}_{\mathrm{r}} \mathrm{y}_{\mathrm{r} j 0}}{\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{m}} \mathrm{v}_{\mathrm{i}} \mathrm{X}_{\mathrm{i} j 0}} $$

上述模型中 $\mathrm{x}_{\mathrm{i} j} \mathrm{y}_{\mathrm{rj}}$ 为已知数 (可由历史资料或预测数据得 到) , $\mathrm{v}_{\mathrm{i}}, \mathrm{u}_{\mathrm{r}}$ 为变量。模型的含义是以权系数 $\mathrm{v}_{\mathrm{i}}, \mathrm{u}_{\mathrm{r}}$ 为变量, 以 所有决策单元的效率指标 $\mathrm{h}_{\mathrm{j}}$ 为约束, 以第 $\mathrm{j}_{0}$ 个决策单元的效 率指数为目标。即评价第 $\mathrm{j}_{0}$ 个决策单元的生产效率是否有效 , 是相对于其他所有决策单元而言的。

这是一个分式规划模型, 我们必须将它化为线性规划模型才能求解。为此, 令 $$ t=\frac{1}{\sum_{i=1}^{m} V_{i} X_{i j 0}} \quad \mu_{r}=t u_{r} \quad W_{i}=t_{V_{i}} $$

则模型 (1) 转化为: $$ \begin{aligned} &\max h_{\mathrm{j} 0}=\sum_{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{p}} \mu_{\mathrm{r}} \mathrm{Y}_{\mathrm{rj} 0} \\ &\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} \sum_{\mathrm{r}=1}^{\mathrm{p}} \mu_{\mathrm{r}} \mathrm{Y}_{\mathrm{r} j}-\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{m}} \mathrm{W}_{\mathrm{i}} \mathrm{X}_{\mathrm{ij}} \leq 0, \mathrm{~W}_{\mathrm{i}} \mathrm{X}_{\mathrm{ij} 0}=1 \\ \sum_{\mathrm{r}}^{\mathrm{m}}, \mathrm{W}_{\mathrm{i}} \geq 0, \ldots \mathrm{j}=1,2, \ldots, \mathrm{n} \end{array}\right. \\ &\mathrm{i}=1,2, . . \mathrm{m} ; \ldots \mathrm{r}=1,2, \ldots, \mathrm{p} \end{aligned} $$ 写成向量形式有: $$ \begin{aligned} &\max h_{j_{0}}=\mu^{T} Y_{0} \\ &\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} \mu^{T} Y_{j}-\omega^{T} X_{j} \leq 0 \\ \omega^{T} X_{0}=1 \\ \omega \geq 0, \mu \geq 0 \end{array} \quad j=1,2, \ldots, n\right. \end{aligned} $$

其对偶问题为: $$ \begin{aligned} &\min V_{\mathrm{D}}=\theta \\ &\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} \sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{n}} \lambda_{\mathrm{j}} \mathrm{X}_{\mathrm{ij}} \leq \theta \mathrm{X}_{\mathrm{i} 0}, \mathrm{i}=1,2, \ldots, \mathrm{m} \\ \sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{n}} \lambda_{\mathrm{j}} \mathrm{y}_{\mathrm{rj}} \geq \mathrm{y}_{\mathrm{r} 0}, \mathrm{r}=1,2, \ldots, \mathrm{p} \\ \lambda_{\mathrm{j}} \geq 0, \theta \text { 无约束 } \end{array}\right. \end{aligned} $$ 写成向量形式有: $\min \theta$ $$ \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} \sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{n}} \lambda_{\mathrm{j}} \mathrm{X}_{\mathrm{j}}+\mathrm{s}^{-}=\theta_{\mathrm{X}_{0}} \\ \sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{n}} \lambda_{\mathrm{j}} \mathrm{y}_{\mathrm{j}}-\mathrm{s}^{+}=\mathrm{y}_{0} \\ \mathrm{~S}^{-} \geq 0, \mathrm{~S}^{+} \geq 0, \lambda_{\mathrm{j}} \geq 0, \\ \theta \quad \text { 无约束 } \end{array}\right. $$